Grzesiak był drużynowym mistrzem kraju (1965/66) z zespołem Gwardii Wrocław i 3-krotnym reprezentantem Polski w meczach międzypaństwowych 1965-1966. Uczestniczył w mistrzostwach Europy w Berlinie (1955). Największy sukces w karierze odniósł jednak na olimpijskich arenach. Podczas Igrzysk XVIII Olimpiady Tokio (1964) wywalczył brązowy medal w kat. do 71 kg. Ten krążek był jego spełnieniem sportowych marzeń.
W sumie stoczył 198 walk (157 zwycięstw, 14 remisów, 27 porażek).
Miał 79 lat. Pogrzeb Józefa Grzesiaka odbędzie się w piątek 5 czerwca o godzinie 13:00 na wrocławskim cmentarzu Grabiszyńskim.